在单变量微积分中，定积分 $\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$ 捕捉了曲线下方的净面积。当我们进入三维空间时，我们扩展这一逻辑，以求得 体积 曲面 $z = f(x, y)$ 下方的
1. 正式定义
我们将函数 $f$ 在闭矩形 $R = [a, b] \times [c, d]$ 上的二重积分定义为双重黎曼和的极限：
$$\iint_R f(x, y) \, dA = \lim_{m, n \to \infty} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n f(x_{ij}^*) \Delta A$$
其中 $\Delta A = \Delta x \Delta y$ 是子矩形 $R_{ij}$ 的面积，$(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ 是 $R_{ij}$ 内任意一个采样点。
1. 几何分割： 将 $R$ 分割为 $m \times n$ 个子矩形 $R_{ij}$，其中 $x_i = a + i\Delta x$，$y_j = c + j\Delta y$。
2. 立体近似： 对每个 $R_{ij}$，构建一个高度为 $f(x_{ij}^*, y_{ij}^*)$ 的柱体。立体 $S$ 的体积 $V$ 近似为 $V \approx \sum \sum f(x_{ij}^*, y_{ij}^*) \Delta A$。
3. 极限： 当网格变得无限精细（$m, n \to \infty$）时，近似值收敛到精确体积。
2. 平均值定理
正如一维曲线的平均高度为 $\frac{1}{b-a}\int f(x)dx$，曲面 $z=f(x,y)$ 在区域 $R$ 上的平均值为：
$$f_{ave} = \frac{1}{A(R)} \iint_R f(x, y) \, dA$$
这个 $f_{ave}$ 表示一个底面为 $R$ 的矩形盒子的高度，该盒子所包含的体积与曲面下方复杂立体的体积相等。